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数量关系

数学运算之不定方程问题知识框架

2014-03-02 15:44:52数量关系518 收藏
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数学运算问题一共分为十四个模块,其中一块是计算问题。不定方程问题是计算问题中算式计算里面的一种。

  

  公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时,一定要找出题中明显或隐含的限制条件,从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解,理清解题思路,掌握解题方法,就能轻松搞定不定方程问题。

  

核心点拨

  1、题型简介

  未知数个数多于方程个数的方程(组),叫做不定方程(组)。通常只讨论它的整数解或正整数解。

  在各类公务员考试中,最常出现的是二元一次方程,其通用形式为ax+by=c,其中a、b、c为已知整数,x、y为所求自然数。在解不定方程问题时,我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

  2、核心知识

  形如, 的方程叫做不定方程,其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的解是不确定的,我们通常研究:

  a.不定方程是否有解?

  b.不定方程有多少个解?

  c.求不定方程的整数解或正整数解。

  (1)二元一次不定方程

  对于二元一次不定方程问题,我们有以下两个定理:

  定理1:

  二元一次不定方程

  A.若其中,则原方程无整数解;

  B.若,则原方程有整数解;

  C.若,则可以在方程两边同时除以,从而使原方程的一次项系数互质,从而转化为B的情形。

  如:方程2x+4y=5没有整数解;2x+3y=5有整数解。

  定理2:

  若不定方程有整数解,则方程有整数解,此解称为特解。

  方程的所有解(即通解)为(k为整数)。

  (2)多元一次不定方程(组)

  多元一次不定方程(组)可转化为二元一次不定方程求解。

  例:

    

  ②-①消去x得y+2z=11    ③

  ③的通解为,k为整数。

  所以x=10-y-z=4-k,当k=0时,x最大,此时y=1,z=5。

  (3)其他不定方程

  3、核心知识使用详解

  解不定方程问题常用的解法:

  (1)代数恒等变形:如因式分解、配方、换元等;   

  (2)不等式估算法:利用不等式等方法,确定出方程中某些变量的范围,进而求解;   

  (3)同余法:对等式两边取特殊的模(如奇偶分析),缩小变量的范围或性质,得出不定方程的整数解或判定其无解;   

  (4)构造法:构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方程有无穷多解;   

  (5)无穷递推法。

  (6)特殊值法:已知不定方程(组),在求解含有未知数的等式的值时,在该等式是定值的情况下,可以采用特殊值法,且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。